プレーヤーが3人の場合の利得表を用いた解法
【浅古泰史】
本書の第２章５節では，N人のゲームとして３人以上のプレーヤーがいる場合の分析方法を紹介しました。そこでは，利得表を使わずにナッシュ均衡を求めていました。３人以上の場合のゲームでは，無理に利得表を用いないことをお勧めしますが，プレーヤーの数がちょうど３人であり，かつ戦略の数が少ない場合には，利得表を用いた分析も可能です。このオンライン・コンテンツでは，利得表を用いて，３人のゲームにおけるナッシュ均衡を求める方法を紹介します。
プレーヤーが３人おり，その各プレーヤーはそれぞれ２つの戦略を有する場合を考えましょう。利得表に示すと，表1のようになります。利得表が２つありますね。それぞれの利得表は，プレーヤーが２人（プレーヤー１と２）だったときと変わりありません。縦に並んだ戦略TとDはプレーヤー１の戦略であり，横に並んだ戦略LとRはプレーヤー２の戦略になります。ここの部分は，２人のプレーヤーのゲームと一緒です。一方で，２つの利得表の上に，それぞれAとBという名前がついています。このAとBがプレーヤー３の戦略です。つまり，プレーヤー３は，左側の利得表を選ぶか，あるいは右側の利得表を選ぶかを決めるプレーヤーであるということになります。各マスに３つの数字が並んでいますが，最初から順番にプレーヤー１，プレーヤー２，プレーヤー３の利得です。例えば，左側の利得表の左上のマスは，プレーヤー１がTを，プレーヤー２がLを，そしてプレーヤー3がAを選んでいる状況下での利得を示しています。右側の利得表の左下のマスで各プレーヤーが選択している戦略は（D,L,B）ということですね。
それではナッシュ均衡を求めていきましょう。まずは，最適反応を見つけていかなければなりません。プレーヤー１とプレーヤー２の最適反応を求める方法は，今までと変わりありません。プレーヤー１の最適反応から考えていきましょう。表2を見てください。３人のプレーヤーがいるので，プレーヤー２とプレーヤー３の２人の戦略の組に対する最適反応を考えないといけません。まず，プレーヤー２がLを選び，プレーヤー3がAを選んでいるとき，つまり(L,A)に対する最適反応は何でしょうか。この場合，左側の利得表の左側の列を見る必要があります。プレーヤー１がTを選べば1の利得ですが，Ｄを選べば利得は2になるので，(L,A)に対する最適反応はＤです。なので，表２に〇をつけましょう。次に，プレーヤー２がRを選び，プレーヤー3がBを選んでいるときの最適反応を考えましょう。これは，右側の利得表の右側の列ですね。今度は，6>4からTが最適反応です。これを続けていくと，(R,A)に対する最適反応はTであり，(L,B)に対する最適反応はDだとわかります。
では，プレーヤー2の最適反応はどうでしょうか。まず，プレーヤー1がTを選び，プレーヤー3がAを選んでいるときの最適反応は，左側の利得表の上の行を見る必要があります。プレーヤー2がLを選べば6の利得ですが，Rを選べば利得は8になるので，(T,A)に対する最適反応はRです。〇をつけましょうね。次に，プレーヤー1がDを選び，プレーヤー3がBを選んでいるときの最適反応は，右側の利得表の下の行を見ます。今度は，2>1からLが最適反応ですね。これを続けていくと，(D,A)に対する最適反応はLであり，(T,B)に対する最適反応はRだとわかります。
最後に，プレーヤー3の最適反応を探しましょう。表3を見てください。まず，プレーヤー1がTを選び，プレーヤー2がLを選んでいるときの最適反応を考えます。このとき，プレーヤー3がAを選べば，結果は左側の利得表の左上のマスになります。一方で，Bを選べば右側の利得表の左上のマスが結果です。この２つのマスにおけるプレーヤー３の利得は，赤色にしています。プレーヤー1がTを選び，プレーヤー2がLを選んでいるときに，プレーヤー3がA（左側の利得票）を選べば2の利得ですが，B（右側の利得表）を選べば利得は0になるので，(T,L)に対する最適反応はAです。表3のプレーヤー３の利得の部分に〇をつけましょう。次に，プレーヤー1がTを選び，プレーヤー2がRを選んでいる場合，Aを選べば左側の利得表の右上が，Bを選べば右側の利得表の右上が結果になります。ここでのプレーヤー３の利得は緑色にしています。この緑色の利得２つを比較するわけです。3>1ですから，(T,R)に対する最適反応もAです。このように他の場合も分析していきます。プレーヤー1がDを選び，プレーヤー2がLを選んでいるときは，2つの利得表の左下を（青色の利得）比較します。(D,L)に対する最適反応はBですね（0<1）。同様に，プレーヤー1がDを選び，プレーヤー2がRを選んでいるときも（2つの利得表の右下の紫色の利得の比較），最適反応はBです（0<2）。
これで全員の最適反応がわかりました。表2と表3を合わせて，全員が最適反応を選択している戦略の組は，(T,R,A)と（D,L,B）だとわかります。この２つがナッシュ均衡です。
ここでは２つの戦略を有する３人のプレーヤーがいるゲームを考えました。戦略の数が増えて，１人のプレーヤーが５つの戦略を有するとしましょう。この場合，利得表が5×5になるだけではなく，プレーヤー3も５つの戦略を持つわけですから，利得表の数も５つになります。また，戦略の数が２つでも，プレーヤーの数が４人になれば，表1をもう１つ書き，利得表の数を４つにしないといけません。戦略の数やプレーヤーの数が少し増えるだけで，書かなければいけない利得表の数はドンドン増えていくわけです。分析がややこしくなりそうですね。ですので，３人以上のゲームでは，本著の中で分析したように，しっかりと場合分けをしたうえで，利得表を用いずに分析していく方が無難だと思います。